[2015년 대진고]

--

[2학년(이과) 2학기 중간 미적분2]

다음 중 함수 [eqn: f(x)=log _{7} `x]에 대한 설명으로 옳은 것은?
[4.2점]

①

① 두 양의 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: f(x)+f(y)=f(xy)]

② 정의역은 실수 전체의 집합이다.

③ [eqn: f(x)=0]인 실수 [eqn: x]는 존재하지 않는다.

④ [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: y=-log _{7} `x]의 그래프와 [eqn: y]축에 대하여

대칭인 그래프이다.

⑤ 정의역에 속하는 임의의 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 [eqn: x _{1} <x _{2}]이면

[eqn: f(x _{1} )>f(x _{2} )]이다.

부등식 [eqn: log _{2} `x ^{2} -log _{2} ` LEFT | `x` RIGHT | LEQ 4]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는?
[4.2점]

④

① [eqn: 29]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 31]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 33]

방정식 [eqn: LEFT | `3 ^{x} -3` RIGHT | =k]가 서로 다른 두 실근을 가지는 실수 [eqn: k]값의 범위는? [4.2점]

①

① [eqn: 0<k<3]	② [eqn: 0 le k <3]	③ [eqn: 0< k le 3]

④ [eqn: k ge 0]	⑤ [eqn: k>0]

다음 중 옳은 것은? [4.2점]

②

① [eqn: lim _{x-> INF } {LEFT ( 1+ {2} over {x} RIGHT ) ^{x} = sqrt {e}}]	② [eqn: lim _{x-> INF } {x}` lnx=inf]

③ [eqn: lim _{x-> - INF } {e ^{-3x} =0}]	④ [eqn: lim _{x -> 0} {log` LEFT | `x` RIGHT |} `= INF]

⑤ [eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{2x} -1} over {x} = {1} over {2}}]

함수 [eqn: f(x)=x]ln[eqn: x+2x ^{3}]에 대하여 [eqn: lim _{h-> 0} {{f(1+2h)-f(1-2h)} over {h}}]의 값은? [4.3점]

③

① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x-> 2} {{e ^{x} f(x)-6} over {x-2} =3e}]를 만족시킬 때, [eqn: f(2)+f`'(2)]의 값을 구하면? [4.3점]

③

① [eqn: {1} over {e}]	② [eqn: {2} over {e}]	③ [eqn: {3} over {e}]

④ [eqn: {4} over {e}]	⑤ [eqn: {5} over {e}]

함수 [eqn: f(x)= cases{ 3+a lnx &```(0<x`le1) # bx+2& (x>1)}]가 [eqn: x=1]에서 미분 가능할 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? [4.3점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.4점]

③

ㄱ. [eqn: f(x)=x ^{2}]이면 [eqn: lim _{x-> 0} {{e ^{f(x)} -1} over {x} =0}]이다.

ㄴ. [eqn: lim _{x-> 0} {{e ^{x} -1} over {f(x)} =1}]이면 [eqn: lim _{x-> 0} {{3 ^{x} -1} over {f(x)} =ln3]이다.

ㄷ. [eqn: lim _{x-> 0} {f(x)=0}]이면 [eqn: lim _{x-> 0} {{e ^{f(x)} -1} over {x}}]이 존재한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

중심각의 크기가 [eqn: 3]이고 넓이가 24cm[eqn: {} ^{2}]인 부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r rmcm], 호의 길이를 [eqn: l rmcm]라고 할 때 [eqn: l-r]의 값은? [4.4점]

①

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=a cosbx+c]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: abc]의 값은? [4.4점]

⑤

(가) 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 8], 최솟값은 [eqn: 2]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+p)=f(x)]를

만족시키는 양수 [eqn: p]의 최솟값은 [eqn: {pi } over {2}]이다.

① [eqn: 20]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 60]

그림과 같이 단위원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라고 하자. 점 [eqn: rmA(1,```0)]과 원점 [eqn: rmO]에 대하여 [eqn: rmanglePAO =theta]라고 할 때, [eqn: rm lim _{theta -> {pi } over {4} -} {{theta - {pi } over {4}} over {bar{PQ} `-` bar{OQ}}}]의 값은? (단, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 2]사분면 위의 점이다.) [4.4점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 0 LEQ x<2 pi]일 때, 방정식 [eqn: sin2x=cos4x]의 서로 다른 실근의 합은? [4.5점]

④

① [eqn: {5} over {2} pi]	② [eqn: {7} over {2} pi]	③ [eqn: {9} over {2} pi]

④ [eqn: {11} over {2} pi]	⑤ [eqn: {13} over {2} pi]

[eqn: cos2x= {1} over {4}]일 때, 등비급수
[eqn: cos ^{2} LEFT ( {pi } over {2} +x RIGHT ) +cos ^{4} LEFT ( {pi } over {2} +x RIGHT ) +cos ^{6} LEFT ( {pi } over {2} +x RIGHT ) +···= {a} over {b}]
라 하자. [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소이다.) [4.5점]

④

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: {pi } over {2} < alpha < pi], [eqn: 0< beta < {pi } over {2}]이고 [eqn: sin` alpha = {2} over {3}], [eqn: cos beta = {1} over {3}]일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

②

ㄱ. [eqn: cos`( alpha + beta )= {sqrt {5} +4 sqrt {2}} over {9}]이다.

ㄴ. [eqn: tan`( alpha - beta )= {2 sqrt {5} +2 sqrt {2}} over {3}]이다.

ㄷ. [eqn: cos` {alpha } over {2} = {3- sqrt {5}} over {6}]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

미분 가능한 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]에 대하여 보기 중에서 옳은 것만을 있는 대로 고르면? [4.6점]

⑤

ㄱ. [eqn: f(x)=x sinx]일 때, [eqn: lim _{h-> 0} {{f LEFT ( {pi } over {2} +3h RIGHT ) -f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT )} over {h} =3}]이다.

ㄴ. [eqn: g(x)=sinx-cosx]일 때, [eqn: lim _{x-> 0} {{g(sinx)+1} over {x} =1}]이다.

ㄷ. [eqn: h(x)=(2x- pi )cosx]일 때,
[eqn: lim _{x-> pi } {{h(x)-h(2 pi -x)} over {x- pi } =-4}]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} =cos {2n} over {3} pi]이고, [eqn: 4cos {x} over {n} +1=0]의 근의 개수를 [eqn: b _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{50} (a _{k} +b _{k} )]의 값은? (단, [eqn: 0 LEQ x<2 pi]이다.) [4.6점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

서술형

다음 물음에 구하는 과정을 자세히 서술하시오. [10.0점]

(1) [eqn: x=1]

(2) [eqn: {1} over {16} LEQ k]

(1) 방정식 [eqn: 4 ^{x} -2 ^{x} -2=0]의 해를 구하는 과정을 서술하시오.

[5점]

(2) 부등식 [eqn: (log _{3} x) ^{2} +log _{9} x+k GEQ 0]이 항상 성립하도록 하는

실수 [eqn: k]값의 범위를 구하는 과정을 서술하시오. [5점]

삼각함수 [eqn: y=sinx]에서 도함수의 정의를 이용하여 [eqn: y`'=cosx]임을 자세히 서술하시오. [10.0점]

[eqn: lim _{h -> 0} {} {sin(x+h)-sinx} over {h} = lim _{h -> 0} {} {sinx cos`h+cosx sin `h -sinx} over {h}#`````````````````````````````````````````````````````````````````````````=lim_h->0 left(cosx { sin `h} over { h}+sinx { cos`h-1} over {h } right)#`````````````````````````````````````````````````````````````````````````=cosx]

그림과 같이 [eqn: y]축 위의 두 점 [eqn: rmA(0,```3)], [eqn: rmB(0,```6)]와 [eqn: x]축 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmANGLE APB]의 크기가 최대일 때, [eqn: rm{bar{OP} } ^{2}]의 값을 구하는 과정을 자세히 서술하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)
[10.0점]

[eqn: 18]

[2015년 대진고]

[2학년(이과) 2학기 중간 미적분2]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com